У р о к 15.
Влияние коэффициентов
а, b
и
с
на расположение
графика квадратичной функции
Цели: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства; выявить влияние коэффициентов а , b и с на расположение графика квадратичной функции.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, график какой функции изображен на рисунке:
у = х 2 – 2х – 1;
у = –2х 2 – 8х ;
у = х 2 – 4х – 1;
у = 2х 2 + 8х + 7;
у = 2х 2 – 1.
б) 
у = х 2 – 2х ;
у = –х 2 + 4х + 1;
у = –х 2 – 4х + 1;
у = –х 2 + 4х – 1;
у = –х 2 + 2х – 1.
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 127 (а).
Р е ш е н и е
Прямая у = 6х + b касается параболы у = х 2 + 8, то есть имеет с ней только одну общую точку в том случае, когда уравнение 6х + b = х 2 + 8 будет иметь единственное решение.
Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант:
х 2 – 6х + 8 + b = 0;
D 1 = 9 – (8 – b ) = 1 + b;
D 1 = 0, если 1 + b = 0, то есть b = –1.
О т в е т: b = –1.
3. Выявить влияние коэффициентов а , b и с на расположение графика функции у = ах 2 + bх + с .
Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно. Следует предложить им все полученные выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную» роль каждого из коэффициентов.
1) Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а < 0 – вниз.
2) Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы. При b = 0 вершина лежит на оси оу .
3) Коэффициент с показывает точку пересечения параболы с осью ОУ .
После этого можно привести пример, показывающий, что можно сказать о коэффициентах а , b и с по графику функции.
Значение с можно назвать точно: поскольку график пересекает ось ОУ в точке (0; 1), то с = 1.
Коэффициент а можно сравнить с нулем: так как ветви параболы направлены вниз, то а < 0.
Знак коэффициента b можно узнать из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы: т = , так как а < 0 и т = 1, то b > 0.
4. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а , b и с .
у = –х 2 + 2х ;
у = х 2 + 2х + 2;
у = 2х 2 – 3х – 2;
у = х 2 – 2.
Р е ш е н и е
а , b и с :
а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;
b ОУ ;
с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).
у = 2х 2 – 3х – 2.
у = х 2 – 2х ;
у = –2х 2 + х + 3;
у = –3х 2 – х – 1;
у = –2,7х 2 – 2х .
Р е ш е н и е
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а , b и с :
а < 0, так как ветви параболы направлены вниз;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ ;
с = 0, так как парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 0).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = –2,7х 2 – 2х .
5. По графику функции у = ах 2 + bх + с а , b и с :
а) 
б) 
Р е ш е н и е
а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.
Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: т = . По графику видно, что т < 0, и мы определим, что а > 0. Поэтому b > 0.
б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а , b и с :
а < 0, с > 0, b < 0.
Сильным в учебе учащимся можно дать дополнительно выполнить № 247.
Р е ш е н и е
у = х 2 + рх + q.
а) По теореме Виета, известно, что если х
1 и х
2 – корни уравнения х
2 +
+ рх
+ q
= 0 (то есть нули данной функции), то х
1 · х
2 = q
и х
1 + х
2 = –р
. Получаем, что q
= 3 · 4 = 12 и р
= –(3 + 4) = –7.
б) Точка пересечения параболы с осью ОУ даст значение параметра q , то есть q = 6. Если график функции пересекает ось ОХ в точке (2; 0), то число 2 является корнем уравнения х 2 + рх + q = 0. Подставляя значение х = 2 в это уравнение, получим, что р = –5.
в) Своего наименьшего значения данная квадратичная функция достигает в вершине параболы, поэтому , откуда р = –12. По условию значение функции у = х 2 – 12х + q в точке x = 6 равно 24. Подставляя x = 6 и у = 24 в данную функцию, находим, что q = 60.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Постройте график функции у = 2х 2 + 4х – 6 и найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
г) наименьшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = –х 2 + 4х , найдите:
а) нули функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а , b и с :
В а р и а н т 2
1. Постройте график функции у = –х 2 + 2х + 3 и найдите, используя график:
а) нули функции;
б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;
в) промежутки возрастания и убывания функции;
г) наибольшее значение функции;
д) область значения функции.
2. Не строя график функции у = 2х 2 + 8х , найдите:
а) нули функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) область значения функции.
3. По графику функции у = ах 2 + bх + с определите знаки коэффициентов а , b и с :
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.
– Перечислите свойства функции у = ах 2 + bх + с при а > 0 и при а < 0.
– Как влияют коэффициенты а , b и с на расположение графика квадратичной функции?
Домашнее задание: № 127 (б), № 128, № 248.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 130.
Функция вида , где называется квадратичной функцией .
График квадратичной функции – парабола .
Рассмотрим случаи:
I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
То есть , ,
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ
Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
А при парабола «станет шире» параболы :
Давайте подытожим:
1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.
2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»
Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы :
Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .
2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде
1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)
2) находим координаты вершины параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Пример 1
Пример 2
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?
Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .
Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.